포커로 알아보는 확률 이야기

일반적인 트럼프는 4x13=52 장의 카드로 구성되어있다. 이 카드를 이용하여 포커를 할 경우 나타날 수 있는 포커패의 확률을 구해보자. 이것이 이미지 프로세싱과 무슨 상관이 있냐고 물어보면 명쾌한 답변은 할 수 없지만, 확률이란 것이 이미지 프로세싱에서 차지하는 비중이 적지 않기에, 머리써서 공부해보면 분명 도움이 될께다.

우선 간단하게 5장의 카드를 받는 파이브 포커에 대해서 생각해보자. (많이들 하는 세븐 포커에서의 확률은 간단히 확장시킬 수 있다)

우선 각각의 경우의 수를 계산하기 위해 combination을 계산해야 하는데, 카드 52장에서 5장의 카드를 선택하는 방법의 가지수는 52C5 로 계산할 수 있다. 그러므로, 각 포커패가 나올 수 있는 확률은 그 포커패가 나올 경우의 수를 52C5 로 나눠주면 구할 수 있다.

1. 원페어(One pair)

원페어란 한 쌍의 카드가 숫자가 같은 경우이다.
우선 한 쌍의 동일한 카드를 고르기 위해 13C1 의 경우의 수가 필요하다. 즉, A, 2, 3, ..., 9, J, Q, K 에서 하나를 선택하는 것을 의미한다. 선택된 숫자는 4가지의 모양을 가지므로, 그 4장의 같은 숫자 카드에서 2장을 선택하는 방법의 가지수는 4C2 이다. 이제 나머지 12종류의 숫자에서 3개의 숫자를 선택해야 하므로 12C3 의 경우가 필요하고, 각각의 3개 숫자마다 4가지 모양이 존재하므로 각각 4C1 의 경우의 수를 가진다. 즉, 정리하면,

2. 투페어(Two pairs)

투페어 확률을 구하는 방법은 원페어와 유사하다. 13가지 숫자에서 2개의 숫자를 선택하고, 선택된 2개의 숫자들은 각각 4C2 가지의 모양을 고를 수 있다. 그러면, 남은 카드는 한 장인데 11가지 숫자에서 하나를 고르고, 4가지 모양 중 하나를 선택할 수 있다.

3. 트리플(Three of a kind, Triple)

투페어 확률을 구하는 방법은 원페어, 투페어와 유사하다. 아래 공식을 보고 이해하기 바란다.

4. 스트레이트(Straight)

연속된 5장의 숫자를 의미한다. A2345부터 10JQKA까지만을 인정한다. 그러므로, A부터 10까지의 숫자 중에서 하나를 고르면, 나머지 4장의 숫자는 자동으로 구해지게 되는 셈이다. 다만, 각각의 카드는 4종류의 모양을 가질 수 있다. 다만, 여기서 스트레이트 플러쉬의 경우의 수는 빼준다.

5. 플러쉬(Flush)

5장의 카드의 모양이 모두 같은 경우. 4가지 모양 중 하나를 선택하면 4C1. 선택된 모양의 카드는 13개의 숫자를 가지고 있으므로, 13장에서 5장을 선택하면 된다. 스트레이트와 마찬가지로 스트레이트 플러쉬는 빼준다.

6. 풀하우스(Full house)

3장의 숫자가 같고, 나머지 2장의 숫자도 같은 경우. 3장의 숫자가 같은 카드를 선택하기 위해 13개 숫자에서 하나 선택하고, 4장의 모양에서 3장을 고른다. 2장의 숫자가 같은 카드를 선택하기 위해 12개 숫자에서 하나 선택하고, 4장의 모양에서 2장을 고른다.

7. 포카드(Four of a kind, Four cards)

4장의 숫자가 같은 경우. 13개 숫자 중 하나를 고르고, 나머지 12개 숫자 중 하나를 고른다. 4개의 숫자의 모양은 4가지 각각 나오게 되고, 나머지 한 장의 카드는 4가지 모양 중 하나를 가질 수 있다.

8. 스트레이트 플러쉬(Straight flush)

5장의 카드의 번호가 연속되고, 무늬도 같은 경우. 로얄 스트레이트 플러쉬의 경우는 제외하도록 하자.

9. 로얄 스트레이트 플러쉬(Royal straight flush)

10, J, Q, K, A 의 경우. 4가지 모양을 가질 수 있다.

이렇게 9가지 포커패의 확률을 구해보았다. 음... 7포커에 대해서도 확률을 구해서 나열할려고 했는데, 하다보니 귀찮고 시간도 많이 소요되어서 여기서 접도록 하겠다. 쩝.